活学活用之乘法分配律

2017-10-31 初一作文

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活学活用之乘法分配律

上周数学培优课老师布置了这么几道数学题：
1、(a+2b)³2、(2a-b)⁵
3、(a+b)⁷
4、(a-b)⁵
5、(a+b)⁵

我这人比较喜欢偷懒，但不是一般的偷懒，而是总想找个捷径。我便一遍又一遍的看起这几道题来，看多了我还真发现有规律可循：这几道题可以归结为(a+b)ⁿ的形式，如果能列出(a+b)ⁿ展开后的'代数式，那一切的问题便都迎刃而解了。找到了目标，我便踏上了寻找规律的漫长的路。

我从(a+b)²=a²+2ab+b²开始着手，得出：
(a+b)³=(a+b)(a+b)²
           =(a+b)(a²+2ab+b²)
           =a³+3a²b+ab²+a²b+2ab²+b³
           =a³+3a²b+3ab²+b³

(a+b)⁴=(a+b)(a+b)³
           =(a+b)(a²+3a²b+3ab²+b²)
           =a⁴+3a³b+3a²b²+ab³+a³b+3a²b²+3ab³+b⁴
           =a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

(a+b)⁵=(a+b)(a+b)⁴
           =(a+b)(a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴)
           =a⁵+4a⁴b+6a³b²+4a²b³+ab⁴+a⁴b+4a³b²+6a²b³+4ab⁴+b⁵
           =a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

(a+b)⁶=(a+b)(a+b)⁵
           =(a+b)(a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵)
           =a⁶+5a⁵b+10a⁴b²+10a³b³+5a²b⁴+ab⁵+a⁵b+5a⁴b²+10a³b³+10a²b⁴+5ab⁵+b⁶
           =a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶

(a+b)⁷=(a+b)(a+b)⁶
           =(a+b)(a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶)
           =a⁷+6a⁶b+15a⁵b²+20a⁴b³+15a³b⁴+6a²b⁵+ab⁶+a⁶b+6a⁵b²+15a⁴b³+20a³b⁴+15a²b⁵+6ab⁶+b⁷
           =a⁷+7a⁶b+21a⁵b²+35a⁴b³+35a³b⁴+21a²b⁵+7ab⁶+b⁷

推导到此处，我发现了(a+b)ⁿ展开式中，各项的字母次方和均为n，但依然没有发现各项的系数有什么规律。但隐隐约约感觉到当n为奇数和偶数时各有不同。聪明的你能告诉我吗？

不过我所掌握的对付老师留下的作业已是小菜一碟了。

如： (a+2b)³ =a³+3a²(2b)+3a(2b)²+(2b)³=a³+6a²b+12ab²+8b³

(2a-b)⁵=(2a)⁵+5(2a)⁴(-b)+10(2a)³(-b)²+10(2a)²(-b)³+5(2a)(-b)⁴+(-b)⁵=32a⁵-80a⁴b+80a³b²-40a²b³+10ab⁴-b⁵

看，复杂的题是否已经变得简单了！

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